Περιεχόμενο

• Οδηγίες
• Γράφοντας το ενιαίο
• Επίλυση του ολοκλήρου
• Τι χρειάζεστε

Η γενική προσέγγιση του υπολογισμού κατά τον προσδιορισμό των όγκων αντικειμένων με καμπύλες επιφάνειες βασίζεται στην κύρια θεωρία της ολοκλήρωσης. Στην ουσία, το τρισδιάστατο αντικείμενο χωρίζεται σε πολύ μικρές φέτες και ο όγκος καθεμιάς από αυτές τις φέτες προσεγγίζεται χρησιμοποιώντας μια απλούστερη μορφή. Για να βρείτε τον όγκο ενός σφαιρικού καλύμματος, η απλούστερη διατύπωση είναι να φανταστείτε ένα σωρό μεγάλων, μικρών κυλίνδρων πάνω από το άλλο. Ο όγκος υπολογίζεται λαμβάνοντας το ύψος του καθενός από αυτούς τους κυλίνδρους τείνοντας στο μηδέν, δημιουργώντας όλο και πιο ακριβείς προσεγγίσεις.

Οδηγίες

Οι θολωτές στέγες πολλών κτιρίων είναι προσεγγίσεις σφαιρικών κελυφών (Hemera Technologies / AbleStock.com / Getty Images)

Γράφοντας το ενιαίο

1. Προσδιορίστε τη διάμετρο ή την ακτίνα του σφαιρικού σας καλύμματος στο ευρύτερο τμήμα του.

2. Καθορίστε το ύψος του καπακιού.

3. Αυξήστε τους αριθμούς στα Βήματα 1 και 2 και αφαιρέστε τα. Διαχωρίστε αυτόν τον αριθμό κατά δύο φορές τον αριθμό που βρίσκεται στο Βήμα 2. Αυτό σας δίνει R, την ακτίνα της σφαίρας από την οποία κόπηκε το πώμα.

4. Πληκτρολογήστε "V =", ακολουθούμενο από το σύμβολο ολοκλήρωσης.

5. Αφαιρέστε τον αριθμό που βρέθηκε στο Βήμα 2 του R και γράψτε αυτήν την τιμή στη βάση του συμβόλου ολοκλήρωσης.

6. Γράψτε την τιμή του R στην κορυφή του συμβόλου ολοκλήρωσης.

   
   

7. Πληκτρολογήστε pi, ακολουθούμενο από παρενθέσεις, μετά το σύμβολο ολοκλήρωσης.

8. Ανυψώστε την τιμή του τετράγωνου R και γράψτε το μέσα στις παρενθέσεις, ακολουθούμενο από ένα σημάδι μείον.

9. Πληκτρολογήστε "x ^ 2" μετά το σύμβολο αφαίρεσης. Μετά τις παρενθέσεις, συμπληρώστε το ολοκλήρωμα με το "dx".

Επίλυση του ολοκλήρου

1. Πολλαπλασιάστε pi από τις τιμές σε παρενθέσεις, με αποτέλεσμα το pi * x ^ 2 να αφαιρεθεί από μια σταθερά.

2. Υπολογίστε τον πρώτο όρο του ολοκλήρου πολλαπλασιάζοντας τη σταθερά με το ύψος του σφαιρικού πώματος (R - a, τα δύο όρια του ολοκλήρου) και μετακινώντας το από το ολοκλήρωμα. Η εξίσωση θα πρέπει τώρα να έχει τη μορφή "V = C (Ra) - [αναπόσπαστο ορισμένο από α έως R] pi * x ^ 2 dx", όπου C είναι το τετράγωνο του R φορές pi και a είναι R μείον a ύψος του σφαιρικού καλύμματος.

3. Το υπόλοιπο της ολοκλήρωσης έχει ως αποτέλεσμα το 1/3pi(R3) - 1/3pi(α ^ 3). Έτσι, ο τελικός τύπος για τον όγκο ενός σφαιρικού καλύμματος είναι V = C (R - a) - 1/3pi(R3) + 1/3pi(α3) με C και περιγράφεται στο Στάδιο 2 και R που περιγράφεται στο Βήμα 3 της προηγούμενης ενότητας.

   
   

4. Αντικαθιστώντας το R με το ύψος του κελύφους (h) με a, υπολογίζοντας τους κύβους και απλουστεύοντας τους υπολογισμούς θα έχουμε V = 1/3pi(3R-h), τον πρότυπο αλγεβρικό τύπο για τον όγκο ενός σφαιρικού καλύμματος.

Τι χρειάζεστε

• Μολύβι
• Χαρτί
• Υπολογιστής (προαιρετικό)