Περιεχόμενο

• Οδηγίες
• Πώς
• Ανακοίνωση

Ο ορισμός του epsilon-delta είναι μια επίδειξη που οι μαθητές μαθαίνουν στο πρώτο έτος των τάξεων λογισμού. Αυτός ο ορισμός είναι ένας κλασικός τρόπος να δείξουμε ότι μια συνάρτηση προσεγγίζει ένα συγκεκριμένο κατώφλι, καθώς μια ανεξάρτητη μεταβλητή προσεγγίζει μια δεδομένη τιμή. Το Epsilon και το delta είναι αντίστοιχα το τέταρτο και το πέμπτο γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου. Αυτά τα γράμματα χρησιμοποιούνται παραδοσιακά στη διαδικασία υπολογισμού των ορίων και χρησιμοποιούνται επίσης σε διαδικασίες επίδειξης.

Οδηγίες

Ο ορισμός epsilon-delta χρησιμοποιείται για την επίλυση οριακών ερωτήσεων. (Jupiterimages / Φωτογραφίες.com / Getty Images)

1. Θα πρέπει να αρχίσουμε να εργαζόμαστε με τον επίσημο ορισμό ορίων. Αυτός ο ορισμός δηλώνει ότι "το όριο του f (x) είναι L, καθώς το x προσεγγίζει το k, αν για κάθε epsilon μεγαλύτερο από το μηδέν υπάρχει ένα αντίστοιχο δέλτα μεγαλύτερο από το μηδέν, έτσι ώστε όταν η τιμή το απόλυτο της διαφοράς μεταξύ των x και k είναι μικρότερο από το δέλτα, η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ f (x) και L θα είναι μικρότερη από το epsilon. "Ανεπίσημα, αυτό σημαίνει ότι το όριο του f (x) είναι L, όταν το x προσεγγίζει το k, αν είναι δυνατόν να φτιάξουμε το f (x) όσο το δυνατόν πιο κοντά στο L, προσεγγίζοντας το x στο k. Για να εκτελέσουμε την επίδειξη epsilon-delta, πρέπει να δείξουμε ότι είναι δυνατόν να ορίσουμε το δέλτα σε όρους epsilon, για μια δεδομένη συνάρτηση και ένα όριο.

   
   

2. Χειριστείτε τη δήλωση "| f (x) - L | είναι μικρότερη από την epsilon" μέχρι να φτάσετε | x - k | λιγότερο από κάποια αξία. Θεωρήστε ότι αυτή η "κάποια τιμή" είναι το δέλτα. Θυμηθείτε τον τυπικό ορισμό και την κεντρική ιδέα, που δηλώνει ότι είναι απαραίτητο να δείξετε ότι για κάθε epsilon υπάρχει ένα δέλτα, δημιουργώντας μεταξύ τους μια σχέση που καθιστά τον ορισμό αληθινό. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητο να ορίσουμε το δέλτα σε όρους epsilon.

3. Παρατηρήστε τα ακόλουθα παραδείγματα για να λάβετε υπόψη την εξέλιξη του ορισμού. Για παράδειγμα, για να αποδείξουμε ότι το όριο 3x-1 είναι 2, όταν το x προσεγγίζει 1, θεωρούμε k = 1, L = 2 και f (x) = 3x-1. Για να είμαστε σίγουροι ότι | f (x) - L | είναι μικρότερη από epsilon, κάνουμε | (3x - 1) - 2 | χαμηλότερο από το epsilon. Αυτό σημαίνει ότι | 3x - 3 | είναι μικρότερη από την epsilon, έτσι 3 | x - 1 | είναι επίσης, ή || x - 1 | είναι μικρότερη από epsilon / 3. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη ότι το delta = epsilon / 3, | f (x) - L | θα είναι μικρότερη από epsilon κάθε φορά | x - k | είναι μικρότερη από το δέλτα.

   
   

Πώς

• Το κεντρικό τμήμα της απόδειξης είναι να μετατρέψουμε το f (x) - L σε x - k. Αν διατηρήσετε αυτό το στόχο, η υπόλοιπη επίδειξη θα γίνει τέλεια.

Ανακοίνωση

• Σε ορισμένες περιπτώσεις, το όριο μιας συνάρτησης μπορεί να υποδηλώνει ότι το f (x) τείνει στο άπειρο όταν το x τείνει στο άπειρο. Ο ορισμός του epsilon-delta δεν λειτουργεί σε αυτές τις περιπτώσεις. σε αυτές τις περιπτώσεις, μια παρόμοια επίδειξη μπορεί να γίνει επιλέγοντας δυο μεγάλους αριθμούς, M και N, και δείχνοντας ότι το f (x) μπορεί να υπερβεί το Μ προκαλώντας το x να υπερβαίνει το Ν, και το Μ μπορεί να είναι τόσο μεγάλο όσο επιθυμεί.